一个质量为 $m = 2$ kg 的滑块，放在光滑的水平长木板上，木板质量为 $M = 3$ kg，长度为 $L = 4$ m。滑块与木板之间的动摩擦因数为 $\mu = 0.3$。开始时滑块和木板都静止，给滑块一个水平向右的初速度 $v_0 = 5$ m/s。同时，在木板右端上方 $h = 0.8$ m 处有一个小球以水平初速度 $v_1 = 3$ m/s 向左平抛。
求：
(1) 滑块在木板上滑行的时间；
(2) 滑块刚离开木板时，滑块和小球的水平距离；
(3) 滑块刚离开木板时，小球的竖直位移。
解析：
(1) 对滑块进行受力分析，受到木板对它的摩擦力 $f = \mu mg = 0.3\times 2\times 10 = 6$ N。
根据牛顿第二定律，滑块的加速度 $a_1 = \frac{f}{m} = \frac{6}{2} = 3$ m/$s^2$。
以木板为参考系，滑块的相对初速度为 $v_{相对} = v_0 = 5$ m/s，相对加速度为 $a_{相对} = 3$ m/$s^2$。
根据 $L = v_{相对}t – \frac{1}{2}a_{相对}t^2$ ，即 $4 = 5t – \frac{1}{2}\times 3t^2$ ，解得 $t = 2$ s。
(2) 滑块刚离开木板时的速度 $v = v_0 – a_1t = 5 – 3\times 2 = -1$ m/s（方向向左）
此时滑块的位移 $x_1 = v_0t – \frac{1}{2}a_1t^2 = 5\times 2 – \frac{1}{2}\times 3\times 2^2 = 4$ m
小球做平抛运动，水平方向做匀速直线运动，运动时间和滑块在木板上滑行的时间相同，水平位移 $x_2 = v_1t = 3\times 2 = 6$ m
滑块和小球的水平距离 $d = x_1 + x_2 = 4 + 6 = 10$ m
(3) 小球做平抛运动，竖直方向做自由落体运动，竖直位移 $y = \frac{1}{2}gt^2 = \frac{1}{2}\times 10\times 2^2 = 20$ m